基础数学示例

$\frac{6 π}{π^{2} - 1} - \frac{3}{π^{2} - π - 2}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

化简分母。

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解题步骤 1.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{6 π}{π^{2} - 1^{2}} - \frac{3}{π^{2} - π - 2}$

解题步骤 1.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = π$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{6 π}{(π + 1) (π - 1)} - \frac{3}{π^{2} - π - 2}$

解题步骤 1.2

使用 AC 法来对 $π^{2} - π - 2$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 2$ ，和为 $- 1$ 。

$- 2, 1$

解题步骤 1.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{6 π}{(π + 1) (π - 1)} - \frac{3}{(π - 2) (π + 1)}$

解题步骤 2

要将 $\frac{6 π}{(π + 1) (π - 1)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{π - 2}{π - 2}$ 。

$\frac{6 π}{(π + 1) (π - 1)} \cdot \frac{π - 2}{π - 2} - \frac{3}{(π - 2) (π + 1)}$

解题步骤 3

要将 $- \frac{3}{(π - 2) (π + 1)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{π - 1}{π - 1}$ 。

$\frac{6 π}{(π + 1) (π - 1)} \cdot \frac{π - 2}{π - 2} - \frac{3}{(π - 2) (π + 1)} \cdot \frac{π - 1}{π - 1}$

解题步骤 4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(π + 1) (π - 1) (π - 2)$ 的形式。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{6 π}{(π + 1) (π - 1)}$ 乘以 $\frac{π - 2}{π - 2}$ 。

$\frac{6 π (π - 2)}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)} - \frac{3}{(π - 2) (π + 1)} \cdot \frac{π - 1}{π - 1}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{3}{(π - 2) (π + 1)}$ 乘以 $\frac{π - 1}{π - 1}$ 。

$\frac{6 π (π - 2)}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)} - \frac{3 (π - 1)}{(π - 2) (π + 1) (π - 1)}$

解题步骤 4.3

重新排序 $(π - 2) (π + 1) (π - 1)$ 的因式。

$\frac{6 π (π - 2)}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)} - \frac{3 (π - 1)}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)}$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{6 π (π - 2) - 3 (π - 1)}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)}$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{6 π π + 6 π \cdot - 2 - 3 (π - 1)}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)}$

解题步骤 6.2

乘以 $6 π π$ 。

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解题步骤 6.2.1

对 $π$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{6 (π^{1} π) + 6 π \cdot - 2 - 3 (π - 1)}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)}$

解题步骤 6.2.2

对 $π$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{6 (π^{1} π^{1}) + 6 π \cdot - 2 - 3 (π - 1)}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)}$

解题步骤 6.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{6 π^{1 + 1} + 6 π \cdot - 2 - 3 (π - 1)}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)}$

解题步骤 6.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{6 π^{2} + 6 π \cdot - 2 - 3 (π - 1)}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)}$

解题步骤 6.3

将 $- 2$ 乘以 $6$ 。

$\frac{6 π^{2} - 12 π - 3 (π - 1)}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)}$

解题步骤 6.4

运用分配律。

$\frac{6 π^{2} - 12 π - 3 π - 3 \cdot - 1}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)}$

解题步骤 6.5

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{6 π^{2} - 12 π - 3 π + 3}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)}$

解题步骤 6.6

从 $- 12 π$ 中减去 $3 π$ 。

$\frac{6 π^{2} - 15 π + 3}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{6 π^{2} - 15 π + 3}{(π + 1) (π - 1) (π - 2)}$

小数形式：

$1.49066945 \dots$

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